CULTIVA IA — Matemática Simbólica con SymPy

Precio Óptimo

20€

Máxima demanda sostenible

Ingreso Máximo

3,679€

Con precio óptimo p* = 20€

Precio Paquete Pro

675€

Sistema de ecuaciones simbólico

Det. Correlación

0.3260

Independencia entre servicios

$Análisis de precios CULTIVA IA$

1 Modelo de Demanda — Cálculo del Precio Óptimo

📈

Función de Demanda e Ingreso

Función de demanda Q(p)

$Q(p) = 500 e^{- \frac{p}{20}}$

Ingreso total R(p) = p · Q(p)

$R(p) = 500 p e^{- \frac{p}{20}}$

Derivada dR/dp (condición de primer orden)

$\dfrac{dR}{dp} = 25 \left(20 - p\right) e^{- \frac{p}{20}}$

🎯

Resultado Óptimo — Exacto

Precio óptimo p* = solve(dR/dp = 0, p)

$p^* = 20$

Valor numérico

20€ / servicio

Ingreso máximo R(p*)

3,678.79€

Expresión simbólica exacta

R(p*) = 10000*exp(-1)

2 Modelo de ROI — Análisis de Sensibilidad

📊

ROI de Campañas de IA — Derivadas Parciales

Función ROI(t, k, τ)

$\text{ROI}(t,k) = \frac{k \left(1 - e^{- \frac{t}{\tau}}\right)}{t}$

Sensibilidad al tiempo ∂ROI/∂t

$\dfrac{\partial \text{ROI}}{\partial t} = \frac{k \left(t + \tau \left(1 - e^{\frac{t}{\tau}}\right)\right) e^{- \frac{t}{\tau}}}{t^{2} \tau}$

Sensibilidad al multiplicador ∂ROI/∂k

$\dfrac{\partial \text{ROI}}{\partial k} = \frac{1}{t} - \frac{e^{- \frac{t}{\tau}}}{t}$

3 Sistema de Ecuaciones — Pricing de Paquetes

🧮

Sistema Lineal — linsolve()

Sistema de 3 ecuaciones y 3 incógnitas

$p_1 + p_2 + p_3 = 1500$
$2p_1 - p_2 = 200$
$p_2 - 2p_3 = -100$

Solución exacta con SymPy linsolve()

Starter (p₁)

p₁

438€

Pro (p₂)

p₂

675€

Enterprise (p₃)

p₃

388€

Total

1500€

🔢

Álgebra Lineal — Correlación de Servicios

Matriz de correlación (Marketing, Datos, Automatización)

Mktg

Datos

Auto

Mktg

0.60

0.40

Datos

0.60

0.70

Auto

0.40

0.70

Determinante det(M)

0.3260

Traza tr(M)

3.0000

Autovalores — eigenvects()

λ₁

2.1420

λ₂

0.2506

λ₃

0.6074

5 Código NumPy Generado — lambdify()

💻

Función Python vectorizada — exportada por SymPy

from sympy import symbols, exp, Rational, lambdify
import numpy as np

# 1. Definir expresión simbólica exacta
p = symbols('p', positive=True)
Q_expr = 500 * exp(-Rational(1, 20) * p)   # Exacto: 1/20, no 0.05
R_expr = p * Q_expr

# 2. Calcular precio óptimo simbólicamente
from sympy import diff, solve
p_star = solve(diff(R_expr, p), p)[0]   # p* = 20 (exacto)

# 3. Lambdify — convierte a función NumPy vectorizada
f_demand  = lambdify(p, Q_expr, 'numpy')
f_revenue = lambdify(p, R_expr, 'numpy')

# 4. Evaluar con arrays NumPy (rápido)
p_vals = np.linspace(1, 100, 500)
Q_vals = f_demand(p_vals)    # array de demanda
R_vals = f_revenue(p_vals)   # array de ingresos

# 5. LaTeX para documentación
from sympy import latex
print(f"R(p) = ${latex(R_expr)}$")
# Output: R(p) = $500 p e^{- p/20}$

sympy 1.14.0 numpy vectorizado latex output aritmética exacta lambdify

Resumen — Expresiones LaTeX Exactas

Demanda Q(p)

$Q(p) = 500 e^{- \frac{p}{20}}$

Ingreso R(p)

$R(p) = 500 p e^{- \frac{p}{20}}$

Precio óptimo p*

$p^* = 20$